15 Dezembro 2005

É a matemática descoberta ou inventada?

Inserido nos “temas vários para eliminar Português e Filosofia do Ensino Secundário”, aqui o Toni lança mais uma questão daquelas para os miúdos de 15 anos que devem hoje aprender que pessoas como o Mário Soares não devem ser presidentes porque não têm nível para isso e ainda discutir se "É a matemática descoberta ou inventada?"

Pitágoras de Siracusa,
Disse um dia aos seus netos
O quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos

Este é aquele que, habitualmente, identificamos como o Teorema de Pitágoras. E é sobre o Teorema de Pitágoras que vamos focar a discussão de se a matemática é descoberta ou invenção.

Em termos do que conhecemos do teorema de Pitágoras, as suas conclusões parecem de utilidade reduzida. Aplicam-se a um triângulo rectângulo, uma figura geométrica triangular em que um dos ângulos do triangulo é recto, isto é, um caso particular de triângulos. Mas aquilo que as pessoas desconhecem, ou se esquecem de tão óbvio que é, é que os formalismos matemáticos tal como os conhecemos hoje não existiam em Siracusa no tempo de Pitágoras. A Matemática, como a conhecemos hoje, não existia, pelo que as demonstrações, os esquemas de raciocínio, eram representados em figuras geométricas. Ou seja, na realidade, o teorema de Pitágoras não se destinava a medir um dos segmentos do triângulo, mas sim estabelecer uma equação. A utilização do triângulo rectângulo é apenas a consequência do formalismo utilizado na altura.

Então a equação diz que a área de um quadrado com hipotenusa de lado é igual à área de um quadrado com um dos catetos de lado mais a área de um quadrado com o outro cateto de lado. E com um formalismo matemático tão básico na altura, os números conhecidos também não eram muitos. Conheciam-se os números naturais, o 1, o 2, o 3, ...Sabia-se que existiam números entre os números naturais, como o 1.5 e o 1.3, por exemplo. Mas pensava-se que todos os números fossem eles naturais ou não naturais se podiam exprimir como a razão de dois números naturais, como por exemplo, 34567/23455. O problema foi que o teorema de Pitágoras nos diz que se os catetos têm comprimento 1 a hipotenusa tem um comprimento de raiz quadrada de dois.

Ora, como os números não – naturais conhecidos se exprimiam como a razão de dois números inteiros sem factores comuns e raiz(2) era um tipo de número conhecido, então existem x e y sem factores comuns tais que raiz(2)=x/y. Ou, melhor 2*y^2=x^2. Se fizermos x=2z, temos que 2*y^2=(2*z)^2, ou y^2=2*z^2. Ou seja, se 2*y^2=x^2 então x exprime-se como o dobro de um qualquer número natural, é par. Mas se y^2=2*z^2, também y se exprime como o dobro de um qualquer número natural, isto é, é par. E logo a nossa condição inicial de que não podiam existir factores comuns foi violada e assim demonstrou-se, por redução ao absurdo, que a raiz quadrada de dois não pode ser expressa como a razão de dois números naturais. Não se tem a certeza da forma como Pitágoras fez esta demonstração. Sabe-se hoje que a fez, mas certamente sem recurso a esta coisa de substituir números por letras ou designar o quadrado como um 2 pequeno em cima da letra ou mesmo usar um sinal de igual. O que é notável se pensarmos nisto.

Questão, Pitágoras descobriu ou inventou um novo tipo de números, os números reais? Na natureza existem triângulos rectângulos, logo existem hipotenusas e catetos. E logo existem números reais. Mas os números naturais? O 1 (um) é o quê? Como é possível que 3,141592... se repita por toda a matemática conhecida pelo nome PI à custa de uma mera invenção? E a constante de Neper e, idem? Não serão meros factores de normalização que ajustam o raciocínio humano à natureza? Foram descobertos ou foram inventados? A matemática, expoente máximo do raciocínio abastracto é, em si, um conjunto de fenómenos naturais?

E fundamentalmente, que interessa andar a ler Almeida Garret se temos isto para resolver? E como se pode eleger para Presidente alguém que acha que não saber matemática não é importante...







At 12/15/2005 11:03 da tarde, Blogger cmonteiro

Está toda a gente a passar por cima deste post fabuloso do camarada Toni sem comentar!

 

At 12/17/2005 11:54 da tarde, Blogger Pinho Cardão

De facto, é lamentável!...
Ainda irei dizer qualquer coisa.

 

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